أعداد_عقدية_(تخيلية)

أعداد عقدية (تخيلية)

العدد العقدي أو العدد المركب هو أي عدد على الصورة: $a+bi\,$ حيث أن a و b هما عددان حقيقيان و i هو عدد تخيلي مربعه = -1. و يسمي العدد الحقيقي a بالجزء الحقيقي و العدد الحقيقي b بالجزء التخيلي. فمثلا، 3 + 2i هو عدد عقدي، فيه 3 هو الجزء الحقيقي، و 2 هو الجزء التخيلي.

و عندما يكون b (أي الجزء التخيلي) = 0، فإن قيمة العدد العقدي تساوي قيمة الجزء الحقيقي a فقط و سمي العدد عددًا حقيقيـًا صرفًا Purely real. و عندما يكون a (أي الجزء الحقيقي) = 0، كان العدد تخيليـًا صرفـًا Purely imaginary.

من الممكن إجراء العمليات الحسابية العادية على الأعداد العقدية، كالجمع و الطرح و القسمة و الضرب، تمامًا كالأعداد الحقيقية، و لكنها أيضـًا تتمتع بخصائص أخرى تمكنها من حل كافة المعادلات الجبرية العادية التي يصعب حلها باستخدام الأعداد الحقيقية فقط.

و أحيانـًا قد يكتب العدد العقدي z على الصورة z = a + bj (خصوصـًا في مجال الهندسة الكهربية، لأن i هو رمز التيار الكهربي)

فهرس

1 التعريف
2 تمثيل الأعداد المركبة
3 الحساب في مجموعة الأعداد العقدية
4 مرافق عدد عقدي
- 4.1 تعريف
- 4.2 الأعداد المترافقة و العمليات
5 معيار عدد عقدي
- 5.1 التمثيل الهندسي للأعداد العقدية
6 لحق نقطة
7 لحق متجهة

عدل التعريف

العدد العقدي هو الذي يتكون من مجموع عددين، أحدهما عدد حقيقي و الآخر عدد تخيلي، و يكون مربع العدد التخيلي عدد سالب.

عدل تمثيل الأعداد المركبة

إذا فرضنا أن z هو عدد مركب، و a و b هما عددان حقيقيان، و i هو عدد تخيلي، فمن الممكن تمثيل العدد المركب z كما يلي:

عدل التمثيل الجبري

يكتب العدد المركب z جبريًا بالشكل: $\,$ لكن صيغته المهمة هي z = a + bi

عدل التمثيل الهندسي

يكتب العدد على شكل $\cos a+ i \sin a\,$

عدل التمثيل الأسي

يكتب العدد على شكل $k .^ie\,$

عدل فهم الأعداد العقدية

عند ما وجد الرياضيون أن المعادلة (x²=-1)مستحيلة الحل في مجموعة الأعداد الحقيقية كان لا بد من أن يوضع لها حلاً وبما أن الرياضيات هي -وكما يقول أحد الرياضيين- العلم الذي لا نعرف فيه إن كان ما نوله صحيح أم لا. لذلك تم إيجاد عدد جديد هو العدد (تاء - ت )بالعربية وبلاتينية العدد(i)وتعريف العدد i هو الجذر التربيعي للعدد -1 .وهنا يكمن التعقيد فمن المعلوم انه ليس لعدد -1 جذر ولكن هذا في الأعداد الحقيقية فكما أنه لا وجود لعدد -5 في الأعداد الطبيعية ولكنه موجدود في الأعداد الصحيحة والحال نفسه بالنسبة لعدد i فالرياضيات هي علم وضعه البشر ولهم الحق في تطويره وتجديده وفق قواعد واضحة تضع للمنطق الرياضي لا تنافي المبادئ الرياضيةوالموضوعات والبديهيات في علم الرياضيات

عدل الحساب في مجموعة الأعداد العقدية

نفس العمليات و القواعد الحسابية في $\mathbb R$ يمكن تطبيقها على الاعداد العقدية. باستعمال تجميعية الجمع و توزيعية الضرب نحصل على ما يلي:

عدل الجمع

تتم عملية الجمع كما يلي:

$(a + bi)+(a' + b'i) = (a+a')+(b+b')i \,$

عدل الضرب

تتم عملية الضرب كما يلي

$(a + bi) (a' + b'i) = (aa' - bb') + (ab' + a'b)i \,$

عدل الخارج

تتم عملية القسمة كما يلي:

$\frac{a + bi}{a' + b'i} = \frac{(aa'+bb')+i(a'b-ab')}{a'^2+b'^2}\,$

عدل مرافق عدد عقدي

عدل تعريف

مرافق العدد العقدي $a + bi\,$ هو العدد العقدي $a - bi\,$ .

مرافق العدد العقدي $z$ نرمز له ب: $\bar{z}$

عدل الأعداد المترافقة و العمليات

مرافق مجموع عددين عقديين هو مجموع مرافق كل من حدي المجموع
مرافق جداء عددين عقديين هو جداء مرافق كل من حدي الجداء

عدل معيار عدد عقدي

جدر مربع جداء عدد عقدي في مرافقه يسمى معيار العدد العقدي

عدل التمثيل الهندسي للأعداد العقدية

عدل لحق نقطة

تمثيل هندسي لعدد عقدي

المستوى $\mathcal{P}$ منسوب لمعلم متعامد ممنظم مباشر $(O; \vec{u}, \vec{v})$ ، التطبيق الذي يربط كل عدد عقدي $z \,$ جزؤه الحقيقي a و جزؤه التخيلي b بالنقطة M التي زوج احداثياتها $(a, b) \,$ من $\mathcal{P}$ ، هو تطبيق تقابلي و العدد العقدي $a + bi\,$ يسمى 'لحق' النقطة M و يرمز له بالرمز $\mathrm{Aff}(M)\,$

عدل لحق متجهة

المستوى المتجهي $\mathcal{V}$ منسوب لمعلم متعامد ممنظم، التطبيق الذي يربط كل عدد عقدي جزؤه الحقيقي a و جزؤه التخيلي b بالمتجهة $\vec u$ من $\mathcal{V}$ التي أفصولها a و أرتوبها b ، هو تطبيق تقابلي و العدد العقدي $a + bi\,$ يسمى 'لحق' المتجهة $\vec u$ .